Скачать
Производная
Определение:
Y=f(x), ∪(x_0 ),x∈∪(x_0 ).
∆y=f(x)-f(x_0 )=f(x_0+∆x_0 )-f(x_0 )
∆x-приращение аргумента
∆y/∆x=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )  определена в проколотой окрестности x_█(█(0))
Конечный   lim┬(∆x→0)⁡〖∆x/∆y〗,называется производной функции f(x).
Формулы:
y=C,∆y→0 lim┬(∆x→0)⁡〖∆x/∆y〗=0,y^'=C^'=0
f(x)=sinx ∆y=sin⁡(x+∆x)-sinx_0=2sin ∆x/2  cos⁡(x_0+∆x/2).
lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x=lim┬(∆x→0)⁡〖(2sin ∆x/2 cos(x_0+∆x/2))/∆x〗 〗=lim┬(∆x→0)⁡〖(2 ∆x/2 cos⁡(x_0+(∆x_0)/∆x))/∆x〗=lim┬(∆x→0)⁡〖cos⁡(x_0+(∆x_0)/2)〗=cosx_0
f^' (x)=(sinx)^'=cosx.f^' (x)=(cosx)^'=-sinx
f(x)=a^x  a≠1 a>0
∆y=a^(x_0+∆x)-a^(x_0 )=a^(x_0 ) (a^(x_0 )-1)
lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗=lim┬(∆x→0)  (a^(x_0 ) (a^(x_0 )-1))/∆x=a^(x_0 )  lim┬(∆x→0)  lna∆x/∆x.〖(a〗^x)'=a^x lna.если а=е,〖(е〗^x)'=е^x 
y=x^2,∆y=(x_0+∆x)^2-〖x_0〗^2=2x_0 ∆x+∆x^2
lim┬(∆x→0)⁡〖∆y/∆x〗=lim┬(∆x→0)⁡〖(2x_0 ∆x+∆x^2)/∆x〗=lim┬(∆x→0) 2x_0 ∆x+∆x=2x_0,(x^d )^'=dx^(d-1)